Послідовнісна модель булевої алгебри та деякі її застосування

Abstract

Запропоновано конструктивний підхід до вирішення проблеми впровадження формальної логіки в побудову математичних моделей, пов'язаних з описом дискретних множин. Метою є створення інструментарію, за допомогою якого можна було б на аналітичному рівні (у вигляді єдиної формули) описувати закономірності, яким підпорядковуються множини дискретних об'єктів. Витоком усіх понять, на яких будується виклад, є поняття нумерації як функціонального відображення множини натуральних чисел на задану множину (не обов'язково числової природи). Зокрема, числові послідовності з відомим загальним членом є нумерацією множини значень їхніх елементів. Із часів Г. Кантора не було наукових робіт, у яких би розглядався систематичний конструктивний підхід до нумерації елементів дискретних множин. Метод дослідження ґрунтується на алгебрі логіки Буля – булевій алгебрі, пропозиційними змінними (висловленнями) якої є послідовності, зокрема числові. Логічні операції над такими змінними, на відміну від відомих арифметичних операцій, здатні враховувати властивості самих операндів. Це, відповідно, дає можливість зберегти властивості чинників економічного процесу, для опису якого будується математична модель. Шляхи практичного застосування результатів дослідження обумовлено: проблемою управління підприємствами в разі моделювання нелінійних процесів в економіці, як і взагалі нелінійних динамічних процесів; задачами теорії алгоритмів, теорії чисел, дискретної математики, математичного програмування, оптимального розкрою матеріалів, кристалографії тощо. На прикладі теоретико-числової задачі показано ефективність застосування запропонованого алгебро-логічного підходу для вирішення четвертої проблеми списку Едмунда Ландау та встановлення потужності множини простих чисел у многочлені Ейлера. Є припущення, що такий підхід застосовний до вивчення потужності простих чисел в інших формах.

Предложен конструктивный подход к решению проблемы внедрения формальной логики в построение математических моделей, связанных с описанием дискретных множеств. Целью является создание инструментария, с помощью которого можно было бы на аналитическом уровне (в виде единой формулы) описывать закономерности, которым подчиняются множества дискретных объектов. Истоком всех понятий, на которых строится изложение, является понятие нумерации как функционального отображения множества натуральных чисел на заданное множество (не обязательно числовой природы). В частности, числовые последовательности с известным общим членом являются нумерацией множества значений их элементов. Со времен Г. Кантора не было научных работ, в которых бы рассматривался систематический конструктивный подход к нумерации элементов дискретных множеств. Метод исследования основывается на алгебре логики Буля – булевой алгебре, пропозициональными переменными (высказываниями) которой являются последовательности, в частности числовые. Логические операции над такими переменными, в отличие от известных арифметических операций, способны учитывать свойства самих операндов. Это, соответственно, дает возможность сохранить свойства факторов экономического процесса, для описания которого строится математическая модель. Пути практического применения результатов исследования обусловлены: проблемой управления предприятиями в случае моделирования нелинейных процессов в экономике, как и вообще нелинейных динамических процессов; задачами теории алгоритмов, теории чисел, дискретной математики, математического программирования, оптимального раскроя материалов, кристаллографии и т. д. На примере теоретико-числовой задачи показана эффективность применения предложенного алгебро-логического подхода для решения четвертой проблемы списка Эдмунда Ландау и установления мощности множества простых чисел в многочлене Эйлера. Есть предположение, что такой подход применим к изучению мощности простых чисел в других формах.

A constructive approach to solving the problem of introducing formal logic in the construction of mathematical models related to the description of discrete sets has been proposed. The aim is to create tools which could be used to describe, at the analytical level (in the form of a unified formula), the patterns that sets of discrete objects are subject to. The origin of all the concepts the statement is based on is the notion of numbering as a functional mapping of a set of natural numbers to a given set (not necessarily of the numerical nature). In particular, numerical sequences with a known common member are numbered by a plurality of values of their elements. Since G. Cantor's time there have not been scientific works in which a systematic constructive approach to the numbering of elements of discrete sets would be considered. The method of research is based on the Boolean logic algebra – Boolean algebra, the propositional variables (statements) of which are sequences, in particular, numerical one. Logical operations on such variables, in contrast to the known arithmetic operations, can take into account the properties of the operands themselves. This, accordingly, makes it possible to preserve the properties of the factors of the economic process for the description of which the mathematical model is constructed. The ways of practical application of research results are conditioned by: the problem of enterprise management in the case of simulation of nonlinear processes in the economy, as well as nonlinear dynamic processes in general; tasks of the theory of algorithms, number theory, discrete mathematics, mathematical programming, optimal cutting of materials, crystallography, etc. An example of a theoretical numerical problem has been used to illustrate the efficiency of the proposed algebra-logical approach applied for the solution of the fourth problem of the Edmund Landau list and the establishment of the power of the set of primes in Euler polynomials. There is an assumption that this approach is applicable to the study of the power of prime numbers in other forms.