Послідовнісна модель булевої алгебри та деякі її застосування

Abstract

Пропонується конструктивний підхід до вирішення проблеми впровадження формальної логіки в побудову математичних моделей, пов'язаних з описом дискретних множин. Метою є створення інструмент-тарію, за допомогою якого можна було б на аналітичному рівні (у вигляді єдиної формули) описувати закономірності, яким підкоряються множини дискретних об'єктів. Витоком усіх понять, на яких будується виклад, є поняття нумерації як функціонального відображення множини натуральних чисел на задану множину (не обов'язково числової природи). Зокрема, числові послідовності з відомим загальним членом є нумерацією множини значень їх елементів. Метод дослідження ґрунтується на алгебрі логіки Буля – булевій алгебрі, – пропозиційними змінними (висловленнями) якої є послідов-ності, зокрема – числові. Логічні операції над такими змінними, на відміну від відомих арифметичних операцій, здатні враховувати властивості самих операндів. Це, відповідно, дає можливість зберегти властивості чинників економічного процесу, для опису якого будується математична модель. Шляхи практичного застосування результатів дослідження обумовлені: проблемою управління підприємствами у разі моделювання нелінійних процесів в економіці, як і взагалі нелінійних динамічних процесів; задачами теорії алгоритмів, теорії чисел, дискретної математики, математичного програмування, оптимального розкрою матеріалів, кристалографії і т. ін. На прикладі теоретико-числової задачі показано ефективність застосування запропонованого алгебро-логічного підходу для вирішення четвертої проблеми списку Едмунда Ландау та встановлення потужності множини простих чисел у многочлені Ейлера. Є припущення, що такий підхід застосовний до вивчення потужності простих чисел у інших формах. Предлагается конструктивный подход к решению проблемы внедрения формальной логики в построение математических моделей, связанных с описанием дискретных множеств. Целью является создание инструментария, с помощью которого можно было бы на аналитическом уровне (в виде единой формулы) описывать закономерности, которым подчиняются множества дискретных объектов. Истоком всех понятий, на которых строится изложение, является понятие нумерации как функционального отображение множества натуральных чисел на заданное множество (не обязательно числовой природы). В частности, числовые последовательности с известным общим членом является нумерацией множества значений их элементов. Метод исследования основывается на алгебре логики Буля - булевой алгебре, – пропозициональными переменными (высказыва-ниями) которой является последовательности, в частности – числовые. Логические операции над такими переменными, в отличие от известных арифметических операций, способны учитывать свойства самих операндов. Это, соответственно, дает возможность сохранить свойства факторов экономического процесса, для описания которого строится математическая модель. Пути практического применения результатов исследования обусловлены проблемой управления предприятиями в случае моделирования нелинейных процессов в экономике, как и вообще нелинейных динамических процессов; задачами теории алгоритмов, теории чисел, дискретной математики, математического программирования, оптимального раскроя материалов, кристаллографии и т. д. На примере теоретико-числовой задачи показана эффективность применения предложенного алгебрологического подхода для решения четвертой проблемы списка Эдмунда Ландау и установления мощности множества простых чисел в многочлене Эйлера. Есть предположение, что такой подход применим к изучению мощности простых чисел в других формах. The proposed article is one of the author's works, which covers issues related to the analytical description of objects of a discrete type. The source of all concepts on which the exposition is based is the notion of numbering as a functional mapping of the set of natural numbers onto a given set (not necessarily a numerical nature). In particular, numerical sequences with a known common term are the numbering of the set of values of their elements. We consider an algebra-logical approach to the description of phenomena and processes of a different nature. The method of investigation is based on Boolean algebra, the propositional variables (statements) of which are sequences, in particular - numerical ones. Logical operations on such variables, unlike known arithmetic operations, are able to take into account the properties of the operands themselves. This, accordingly, makes it possible to preserve the properties of factors of the economic process, for the description of which a mathematical model is constructed. The aim of the research is the combination of traditional methods of constructing mathematical models with an algebra-logical approach based on the introduction into their construction of a sequential model of Boolean algebra. Expressive results are obtained concerning questions related to the study of the cardinality of a set of primes in polynomials (this is of great importance in cryptography). Ways of practical application of the results are due to: the problem of enterprise management in the case of modeling non-linear processes in the economy, as well as in general non-linear dynamic processes; problems of the theory of algorithms, number theory, discrete mathematics, mathematical programming, optimal cutting of materials, crystallography, etc.