Евристичний підхід до програмної реалізації методу Літтла на прикладі задачі комівояжера

Abstract

У статті розглянуто задачу комівояжера (комівояжер — бродячий торговець; англ. Travelling Salesman Problem, TSP), яка є однією з найвідоміших та найважливіших оптимізаційних задач у теорії графів та прикладній математиці. Вона має широке практичне застосування, включаючи логістику, планування маршрутів та управління ресурсами. Суть задачі полягає у пошуку найвигіднішого маршруту, що проходить через задані міста лише один раз, а потім повертається до початкової точки. В умовах даної задачі застосовуються критерій вигідності маршруту (тобто найкоротший та найдешевший маршрут) і відповідні матриці відстаней (в кілометрах), тобто основна мета - мінімізувати загальну довжину маршруту або його вартість. Задано, що маршрут повинен проходити через кожне місто тільки один раз, в такому випадку розв'язок знаходиться серед гамільтонових циклів. Для можливості застосування математичного апарату для розв'язання проблеми, її представлено у вигляді математичної моделі. Проблему комівояжера формулюють у вигляді моделі на графі, де міста представлені як вершини, а відстані між ними - як ребра. Авторами запропоновано застосування евристичного методу до розв’язання даної задачі. Для цього вдосконалено програмну реалізацію алгоритму Літтла, який вибирає для розбиття множини з мінімальною межею з усіх можливих гілок, а не з двох отриманих в результаті останнього розбиття. При цьому використовується евристичний підхід до вибору множини з межею не більше, ніж мінімальна. Продемонстровано роботу програми на прикладі проїзду автомобілем між містами України, заданими реальної матрицею відстаней (в кілометрах). У статті розглянуто модернізований метод Літтла для розв’язання задачі комівояжера, що демонструє значно вищу швидкість роботи порівняно з методом повного перебору. Основна ідея - використання евристичного підходу для скорочення простору пошуку та зниження витрат ресурсів. Тестування на прикладі міст України з використанням реальної матриці відстаней у кілометрах підтвердило ефективність алгоритму, який обирає оптимальні розв’язання, зберігаючи мінімальні межі витрат.