Цілочислові сітки на площині в задачах дискретної оптимізації

Abstract

Розглянуто оригінальний підхід до розв'язання задач дискретної (цілочислової) оптимізації, який базується на нумерації точок площини з цілими координатами – цілих точок. Знайдено за допомогою функції антьє аналітичний опис (у замкненій формі) залежності координат цілої точки від її номера і номера цілої точки від її координат. На цих засадах запропоновано уникнути попереднього розв'язування задачі математичного програмування з послабленими обмеженнями, тобто без урахування вимог цілочисловості змінних, як це робиться в методах відтинання і комбінаторних методах. Знаходження оптимуму функції цілі відразу здійснено на множині цілих точок – підмножині області допустимих значень змінних.

Рассмотрен оригинальный подход к решению задач дискретной (целочисленной) оптимизации, основанный на нумерации точек плоскости с целыми координатами – целых точек. Найдено с помощью функции антье аналитическое описание (в замкнутой форме) зависимости координат целой точки от ее номера и номера целой точки от ее координат. На этой основе предложено избежать предварительного решения задачи математического программирования с ослабленными ограничениями, то есть без учета требований целочисленности переменных, как это делается в методах

отсечения и комбинаторных методах. Нахождение оптимума функции цели сразу осуществляется на множестве целых точек – подмножестве области допустимых значений переменных.

A novel approach to solving the problems of discrete (integer) optimization based on the numbering of points in the plane with integer coordinates, i. e. lattice points, is considered. An analytical description (in the closed form) of the whole point coordinates dependence on its number and the whole point number on its coordinates was found using the function antje. On this basis, it is proposed to avoid a preliminary solution of the problem of mathematical programming with weak constraints, i. e. excluding the requirements of integer variables, as in the methods of pruning and combinatorial methods. Finding the optimum of the objective function is carried out directly on the set of lattice points i. e. a subset of the domain of admissible values of variables.