Задача теории потенциала для слоя с круговой цилиндрической полостью

Abstract

Обобщенный метод Фурье решения краевых задач математиче-ской физики применяется к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа в плоско-параллельном слое с полостью в виде кругового ци-линдра, образующая которого параллельна граничным плоскостям слоя. Использованные в работе формулы разложения гармонических функций из декартовой системы координат в цилиндрическую и им обратные позволили привести задачу к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, для которой при условии некасания граничных поверхностей доказана возможность нахождения приближенного решения методом редукции. При этом приближенные решения сходятся к точному решению с увеличением порядка урезанных систем. Метод может быть распространен как на другие основные задачи теории потенциала для одного или нескольких цилиндрических включений, так и на основные задачи пространственной теории упругости. Узагальнений метод Фур'є розв'язання граничних задач математичної фізики застосовується до розв'язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа у плоскопаралельному шарі з порожниною у вигляді кругового циліндра, твірна якого паралельна граничним площинам шару. Використані в роботі формули розкладу гармонійних функцій із декартової системи координат у циліндричну та їм обернені дозволили звести задачу до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, для якої за умови недотику граничних поверхонь доведена можливість відшукання наближеного розв'язку методом редукції. Разом з тим, наближені розв'язки збігаються до точного розв'язку зі збільшенням порядку урізаних систем. Метод може бути поширений як на інші основні задачі теорії потенціалу для одного або декількох циліндричних включень, так і на основні задачі просторової теорії пружності. The generalized Fourier method for the solution of the boundary value problems of the mathematical physics is applied to the solution of the Dirichlet problem for the Laplace equation in a plane-parallel layer with a cavity in the form of a circular cylinder, whose generatrix is parallel to the boundary planes of the layer. The formulas for the expansion of harmonic functions from the Cartesian coordinate system to the cylindrical coordinate system and their inverses, which were used in the work, allowed to reduce the problem to the infinite system of linear algebraic equations, for which the possibility of the finding an approximate solution by the reduction method is proved under the condition of non-touching surfaces. In this case, the approximate solutions tend to the exact solution with increasing the order of the truncated systems. The method can be extended to other basic problems of potential theory for one or several cylindrical inclusions, and to the basic problems of the spatial theory of elasticity.