Жадібний алгоритм для розміщення багатовимірних куль у кулі з мінімальним радіусом

Abstract

У роботі розглядається задача розміщення куль у багатовимірному евклідовому просторі в кулі мінімального радіуса. Такі задачі виникають у геометричній оптимізації, аналізі високовимірних структур і застосовуються, зокрема, під час побудови багатовимірних кодових конфігурацій у задачах передавання й захисту інформації. Формально задача зводиться до пошуку конфігурації непретинних куль, що мінімізує радіус області, яка їх містить. Ця оптимізаційна задача належить до класу NP-складних, а її точний розв’язок у просторі високої розмірності потребує значних обчислювальних ресурсів. Для отримання швидких наближених рішень запропоновано жадібний алгоритм послідовного додавання куль. На кожному кроці нова куля розміщується якомога ближче до початку координат за умови дотримання геометричних обмежень, водночас уже розміщені елементи залишаються фіксованими. Такий підхід забезпечує низьку обчислювальну складність і дає змогу конструювати допустимі конфігурації у просторах великої розмірності. Проведені обчислювальні експерименти для різних розмірностей демонструють ефективність розробленого алгоритму та дають змогу оцінити щільність отриманих конфігурацій. Запропонований метод може використовуватися як стартовий етап перед застосуванням більш складних локальних або глобальних оптимізаційних алгоритмів.